极限

极限的概念

数列的极限

定义 如果对于任意给定的 $ϵ>0$，总存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，恒有

$$|x_n-a|<ϵ$$

成立，则称常数 $a$ 为数列 $\{x_n\}$ 当 $n$ 趋于无穷时的极限，记为

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a.$$

注意

• $ϵ$ 是用来刻画 $x_n$ 与 $a$ 的接近程度，$N$ 是用来刻画 $n\to \mathrm{\infty }$ 这个极限过程.
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ 的几何意义是：对于点 $a$ 的任何 $ϵ$ 邻域即开区间 $(a-ϵ,a+ϵ)$，一定存在 $N$，当 $n>N$ 即第 $N$ 项以后的点 $x_n$ 都落在开区间 $(a-ϵ,a+ϵ)$ 内，而只有有限个(最多有 $N$ 个)点在这区间之外.
• 数列 $\{x_n\}$ 的极限是否存在，如果存在极限值等于多少与数列的前有限项无关.
• 数列极限存在以下关系

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\iff \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k-1}=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2k}=a.$$

例 1 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=\underset{―}{}$.

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【方法一】

当 $n$ 为奇数时，$x_n=(\frac{n+1}{n}{)}^{-1}=\frac{n}{n+1}$.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+1}=1.$$

当 $n$ 为偶数时，$x_n=\frac{n+1}{n}$.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=1.$$

则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=1$.

【方法二】

由于

$$(\frac{n+1}{n}{)}^{-1}\le (\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}\le \frac{n+1}{n},$$

由夹逼准则知

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n+1}{n}{)}^{(-1{)}^n}=1.$$

例 2 试证明：

(1) 若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|a|$，但反之不成立；

(2) $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$ 的充分必要条件是 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=0$.

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(1) 由于 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ 及数列极限定义知，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }N>0$，当 $n>N$ 时，

$$|x_n-a|<ϵ.$$

又 $||x_n|-|a||\le |x_n-a|$，则 $\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }N>0$，当 $n>N$ 时，

$$||x_n|-|a||<ϵ.$$

故 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|a|$. 反之不成立，例如 $x_n=(-1{)}^n$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=1=|1|$，但 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^n$ 不存在.

(2) 由(1)可知，若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=|0|=0$. 所以，以下只要证明：若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=0$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=0$. 由 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|x_n|=0$ 可知，$\mathrm{\forall }ϵ>0$，$\mathrm{\exists }N>0$，当 $n>N$ 时，

$$||x_n|-0|<ϵ,$$

即 $|x_n-0|<ϵ$.故原题得证.

函数的极限

自变量趋于无穷大时函数的极限

定义 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，恒有

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A.$$

定义 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $X>0$，当 $x<-X$ 时，恒有

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A.$$

定义 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $X>0$，当 $|x|>X$ 时，恒有 ]

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A.$$

注意

这里的 $x\to \mathrm{\infty }$ 是指 $|x|\to +\mathrm{\infty }$；而数列极限中的 $n\to \mathrm{\infty }$ 是指 $n\to +\mathrm{\infty }$.

定理 极限 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在的充要条件是极限 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 及 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)$ 存在并且相等.

自变量趋于有限值时函数的极限

定义 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，恒有

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A.$$

注意

• $ϵ$ 是用来刻画 $f(x)$ 与 $A$ 的接近程度，$\delta$ 是用来刻画 $x\to x_0$ 这个极限过程.
• 几何意义：对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $U^{\circ }(x_0,\delta )$，当 $x\in U^{\circ }(x_0,\delta )$ 时，曲线 $y=f(x)$ 夹在两直线 $y=A-ϵ$ 和 $y=A+ϵ$ 之间.
• 这里 $x\to x_0$，但 $x\ne x_0$.极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 是否存在，如果存在极限值等于多少与 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有没有定义，如果有定义函数值等于多少无关，只与 $x=x_0$ 的去心邻域 $U^{\circ }(x_0,\delta )$ 内的函数值有关.而要使 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，$f(x)$ 必须在 $x=x_0$ 的某去心邻域 $U^{\circ }(x_0,\delta )$ 处处有定义.

定义 (左极限) 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $\delta >0$，当 $x_0-\delta <x<x_0$ 时，恒有

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的左极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A.$$

或 $f(x_0^{-})=A$，或 $f(x_0-0)=A$.

定义 (右极限) 若对任意给定的 $ϵ>0$，总存在 $\delta >0$，当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，恒有

$$|f(x)-A|<ϵ,$$

则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的右极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A.$$

或 $f(x_0^{+})=A$，或 $f(x_0+0)=A$.

定理 极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在的充要条件是左极限 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$ 及右极限 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ 存在并且相等.

注意

需要分左、右极限求极限的问题常见有以下三种：

• 分段函数在分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同 (这里也包括带有绝对值的函数，如 $\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}$).
• $e^{\mathrm{\infty }}$ 型极限 (如 $\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^x$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-x}$) $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=0$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}=+\mathrm{\infty }$，则 $\underset{x\to 0}{lim}{e}^{\frac{1}{x}}$ 不存在； $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$，则 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^x$ 不存在.

注意 $e^{\mathrm{\infty }}\ne \mathrm{\infty }$, $e^{+\mathrm{\infty }}=+\mathrm{\infty }$, $e^{-\mathrm{\infty }}=0$.

• $\arctan \mathrm{\infty }$ 型极限 (如 $\underset{x\to 0}{lim}\arctan \frac{1}{x}$, $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan x$) $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=-\frac{\pi }{2}$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$，则 $\underset{x\to 0}{lim}\arctan \frac{1}{x}$ 不存在； $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2}$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2}$，则 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan x$ 不存在.

注意 $\arctan \mathrm{\infty }\ne \frac{\pi }{2}$, $\arctan (+\mathrm{\infty })=\frac{\pi }{2}$, $\arctan (-\mathrm{\infty })=-\frac{\pi }{2}$.

例3 当 $x\to 1$ 时，函数 $\frac{x^2-1}{x-1}{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 的极限

(A) 等于 2.

(B) 等于 0.

(C) 为 $\mathrm{\infty }$.

(D) 不存在但不为 $\mathrm{\infty }$.

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本题中出现 $e^{\mathrm{\infty }}$，所以要分左、右极限

$$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}{e}^{\frac{1}{x-1}}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=2\times 0=0,$$$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}{e}^{\frac{1}{x-1}}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}(x+1)e^{\frac{1}{x-1}}=+\mathrm{\infty },$$

所以 $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}{e}^{\frac{1}{x-1}}$ 不存在，但不是 $\mathrm{\infty }$，应选(D).

例4 已知 $\underset{x\to 0}{lim}[a\arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}]$ 存在，求 $a$ 的值.

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由于 $\underset{x\to 0}{lim}[a\arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}]$ 存在，则

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}[a\arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}]=\underset{x\to 0^{-}}{lim}a\arctan \frac{1}{x}+\underset{x\to 0^{-}}{lim}(1-x{)}^{\frac{1}{x}}=-\frac{\pi }{2}a+\frac{1}{e},$$$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}[a\arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{\frac{1}{x}}]=\underset{x\to 0^{+}}{lim}a\arctan \frac{1}{x}+\underset{x\to 0^{+}}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=\frac{\pi }{2}a+e,$$

则 $-\frac{\pi }{2}a+\frac{1}{e}=\frac{\pi }{2}a+e$，解得 $a=\frac{1-e^2}{\pi e}$.

极限的性质

有界性

(数列) 如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界.

注意

反之不成立，反例为 $x_n=(-1{)}^n$.显然，该数列有界但不收敛.由此可得有界是数列收敛的必要条件而非充分条件.无界数列一定发散，但发散数列不一定无界.

(函数) 若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 某去心邻域有界 (即局部有界).

注意

反之不成立，反例为 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$，该函数在 $x=0$ 的去心邻域有界，但它在 $x=0$ 处的极限 $\underset{x\to 0}{lim}\sin \frac{1}{x}$ 不存在.

保号性

(数列) 设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=A$

• 如果 $A>0$ (或 $A<0$)，则存在 $N>0$，当 $n>N$ 时，$x_n>0$ (或 $x_n<0$)；
• 如果存在 $N>0$，当 $n>N$ 时，$x_n\ge 0$ (或 $x_n\le 0$)，则 $A\ge 0$ (或 $A\le 0$).

注意

注意结论(1)中是严格不等号 ($>$或$<$)；而(2)中是非严格不等号 ($\ge$ 或 $\le$).

(函数) 设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$

• 如果 $A>0$ (或 $A<0$)，则存在 $\delta >0$，当 $x\in U^{\circ }(x_0,\delta )$ 时，$f(x)>0$ (或 $f(x)<0$).
• 如果存在 $\delta >0$，当 $x\in U^{\circ }(x_0,\delta )$ 时，$f(x)\ge 0$ (或 $f(x)\le 0$)，那么 $A\ge 0$ (或 $A\le 0$).

例5 设 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1$，则在点 $x=a$ 处

(A) $f(x)$ 的导数存在，且 $f^{\prime }(a)\ne 0$.

(B) $f(x)$ 取得极大值.

(C) $f(x)$ 取得极小值.

(D) $f(x)$ 的导数不存在.

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【方法一】直接法

因为 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}=-1<0$，由极限保号性知，存在 $\delta >0$，当 $x\in U^{\circ }(a,\delta )$ 时，

$$\frac{f(x)-f(a)}{(x-a{)}^2}<0.$$

又因为当 $x\in U^{\circ }(a,\delta )$ 时，$(x-a{)}^2>0$，则 $f(x)-f(a)<0$，即

$$f(x)<f(a).$$

由极值的定义得在点 $x=a$ 处 $f(x)$ 取得极大值.

【方法二】排除法

令 $f(x)=-(x-a{)}^2$，显然 $f(x)$ 满足题设条件，但在 $x=a$ 处 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime }(a)=0$，取极大值，则选项(A)(C)(D)都不正确，故应选(B).

极限值与无穷小之间的关系

$$limf(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x)\$，\mathrm{其}\mathrm{中}\$lim\alpha (x)=0.$$

极限的存在准则

夹逼准则

若存在 $N$，当 $n>N$ 时 $x_n\le y_n\le z_n$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a$.

单调有界准则

单调有界数列必有极限，即单调增(减)有上(下)界的数列必有极限.

注意

• 夹逼准则比较多地用在求项和的数列极限上，而单调有界准则比较多地是用在求递推关系 $x_{n+1}=f(x_n)$ 所定义的数列极限上；
• 函数极限也有对应的以上两条存在准则.

例6 求极限

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{n}{n^2+n}).$$

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由于

$$\frac{n\cdot n}{n^2+n}\le \frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{n}{n^2+n}\le \frac{n\cdot n}{n^2+1},$$

又

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2}{n^2+n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1.$$

由夹逼准则知

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{n}{n^2+n})=1.$$

例7 求极限 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x[\frac{1}{x}]$.

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由于

$$\frac{1}{x}-1<[\frac{1}{x}]\le \frac{1}{x},$$

当 $x>0$ 时，上式两端同乘以 $x$ 得

$$1-x<x[\frac{1}{x}]\le 1,$$

由夹逼准则知 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}x[\frac{1}{x}]=1$.

例8 求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{n!}$.

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【方法一】

当 $n$ 足够大时有

$$0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot \cdot \cdot 2}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot n}=\frac{2}{1}\cdot \frac{2}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \cdot \cdot \frac{2}{n-1}\cdot \frac{2}{n}<\frac{2\cdot 2}{n}=\frac{4}{n}.$$

又 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4}{n}=0$， 由夹逼准则知

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{n!}=0.$$

【方法二】 令 $x_n=\frac{2^n}{n!}$，则

$$x_{n+1}=x_n\cdot \frac{2}{n+1}.$$

则数列 $\{x_n\}$ 单调减.又

$$x_n=\frac{2^n}{n!}>0,$$

所以 $\{x_n\}$ 下有界,由单调有界准则知数列 $\{x_n\}$ 收敛. 设

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a.$$

在等式

$$x_{n+1}=x_n\cdot \frac{2}{n+1},$$

两端取极限得$a=0$.

无穷小量

无穷小量的概念

定义 若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$) 时的极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$) 时的无穷小量.

无穷小的比较

设 $lim\alpha (x)=0$，$lim\beta (x)=0$，且 $\beta (x)\ne 0$.

• 高阶无穷小 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，记为 $\alpha (x)=o(\beta (x))$；
• 低阶无穷小 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\mathrm{\infty }$；
• 同阶无穷小 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=C\ne 0$；
• 等价无穷小 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，记为 $\alpha (x)\sim \beta (x)$；
• 无穷小的阶 若 $lim\frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=C\ne 0$，则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 的 $k$ 阶无穷小.

例9 设 $\cos x-1=x\sin \alpha (x)$，其中 $|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$，则当 $x\to 0$ 时，$\alpha (x)$ 是

(A) 比 $x$ 高阶的无穷小量.

(B) 比 $x$ 低阶的无穷小量.

(C) 与 $x$ 同阶但不等价的无穷小量.

(D) 与 $x$ 等价的无穷小量.

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由于 $\cos x-1=x\sin \alpha (x)$，则

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos x-1}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}=-\frac{1}{2},$$

即有 $\underset{x\to 0}{lim}\sin \alpha (x)=0$.又 $|\alpha (x)|<\frac{\pi }{2}$，则 $\underset{x\to 0}{lim}\alpha (x)=0$. 因此，$\sin \alpha (x)\sim \alpha (x)$ 当 $x\to 0$ 时.

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\alpha (x)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \alpha (x)}{x}=-\frac{1}{2}.$$

故 $\alpha (x)$ 与 $x$ 同阶但不等价，应选(C).

无穷小的性质

• 有限个无穷小的和仍是无穷小.
• 有限个无穷小的积仍是无穷小.
• 无穷小量与有界量的积仍是无穷小.

注意

以上前两条中的“有限”二字不能少.

无穷大量

无穷大量的概念

定义 若函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$) 时趋向于无穷，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$) 时的无穷大量. 即：若对任意给定的 $M>0$，总存在 $\delta >0$ (或 $X>0$)，当 $0<|x-x_0|<\delta$ (或 $|x|>X$) 时，恒有 $|f(x)|>M$，则称 $f(x)$ 为 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$) 时的无穷大量.

常用的一些无穷大量的比较

• 当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时， ${\ln }^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x$，其中 $\alpha >0,\beta >0,a>1$.

注意

$\ll$ 是远小于号，这些结论可以用洛必达法则证明.

• 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时， ${\ln }^{\alpha }n\ll n^{\beta }\ll a^n\ll n!\ll n^n$，其中 $\alpha >0,\beta >0,a>1$.

例10 设 $f(x)={\ln }^{10}x,g(x)=x,h(x)=e^{\frac{x}{10}}$，则当 $x$ 充分大时，有

(A) $g(x)<h(x)<f(x)$

(B) $h(x)<g(x)<f(x)$

(C) $f(x)<g(x)<h(x)$

(D) $g(x)<f(x)<h(x)$

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由于当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，

$${\ln }^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x,$$

其中 $\alpha >0,\beta >0,a>1$. 令 $a=e^{\frac{1}{10}}>1$. 则当 $x$ 充分大时，有

$${\ln }^{10}x\ll x\ll (e^{\frac{1}{10}}{)}^x=e^{\frac{x}{10}},$$

即 $f(x)<g(x)<h(x).$ 故应选(C).

无穷大量的性质

• 两个无穷大量的积仍为无穷大量 (需注意符号).
• 无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量.

无穷大量与无界变量的关系

我们以数列为例说明无穷大量与无界变量的关系，首先回忆这两个概念

• 数列 $\{x_n\}$ 是无穷大量：$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }N>0$，当 $n>N$ 时，恒有 $|x_n|>M$.
• 数列 $\{x_n\}$ 是无界变量：$\mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }{n}_0$ (依赖于 M)，使 $|x_{n_0}|>M$.

由以上两个定义不难看出无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量.

例11 数列 $x_n=\{\begin{array}{ll}n,& n\text{ 为奇数},\\ 0,& n\text{ 为偶数},\end{array}$ 是无界变量但不是无穷大量.

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由于 $\mathrm{\forall }M>0$，存在奇数 $n>M$，使得 $x_n=n>M$，则数列 $\{x_n\}$ 是无界变量. 又因为 $\mathrm{\forall }M>0$，不论 $N$ 多么大，总存在偶数 $n>N$，使 $x_n=0<M$.所以 $\{x_n\}$ 不是无穷大量.

例12 设数列的通项为 $x_n=\{\begin{array}{ll}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n},& n\text{ 为奇数},\\ \frac{1}{n},& n\text{ 为偶数},\end{array}$ 则当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$x_n$ 是

(A) 无穷大量.

(B) 无穷小量.

(C) 有界变量.

(D) 无界变量.

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当 $n$ 为奇数时，$x_n=\frac{n^2+\sqrt{n}}{n}=n+\frac{1}{\sqrt{n}}$.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(n+\frac{1}{\sqrt{n}})=+\mathrm{\infty }.$$

当 $n$ 为偶数时，$x_n=\frac{1}{n}$.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0.$$

则 $x_n$ 是无界变量但不是无穷大量，故应选(D).

无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大.

注意

$f(x)\equiv 0$，是 $x\to x_0$ 时的无穷小量，但 $\frac{1}{f(x)}$ 无意义，所以不是无穷大量.