函数

函数及常见函数类型

函数的定义

定义 设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集，如果对于每个数 $x\in D$ 按照一定的法则总有一个确定的数值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为

$$y=f(x),x\in D$$

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为函数的定义域，记作 $D_f$ 即 $D_f=D$.函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数的值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$.

$$R_f=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$$

注意

两个函数相等的条件是定义域相同且对应法则相同.

例 1 函数

$$y=sgnx=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0,\\ 0,& x=0,\\ 1,& x>0,\end{array}$$

称为符号函数.

例 2 设 $x$ 为任意实数，不超过 $x$ 的最大整数称为 $x$ 的整数部分，记为 $[x]$.函数 $y=[x]$ 称为取整函数.

取整函数基本不等式

$x-1<[x]\le x<[x]+1$

复合函数

定义 设函数 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_f$，函数 $u=g(x)$ 的定义域为 $D_g$，值域为 $R_g$，若 $D_f\cap R_g\ne \mathrm{\varnothing }$，则称函数 $y=f[g(x)]$ 为函数 $y=f(u)$ 与 $u=g(x)$ 的复合函数，它的定义域为 $\{x|x\in D_g,g(x)\in D_f\}$.

注意

不是任意两个函数都可以复合，如：$f(u)=\ln u$，$g(x)=\sin x-1$，这是由于

$$D_f=(0,+\mathrm{\infty }),R_g=[-2,0],D_f\cap R_g=\mathrm{\varnothing }$$

反函数

定义 设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R_y$.若对任意 $y\in R_y$，有唯一确定的 $x\in D$，使得 $y=f(x)$，则记为 $x=f^{-1}(y)$，称其为函数 $y=f(x)$ 的反函数.

$$x=f^{-1}(y)\text{或}y=f^{-1}(x)$$

注意

• 不是每个函数都有反函数，如 $y=x^3$ 有反函数，而 $y=x^2$ 没有反函数.
• 单调函数一定有反函数，但反之则不然，如 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x<1,\\ 3-x,& 1\le x\le 2\end{array}$ 有反函数，但不单调.
• 有时也将 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 写成 $y=f^{-1}(x)$.在同一直角坐标系中，$y=f(x)$ 和 $x=f^{-1}(y)$ 的图形重合，$y=f(x)$ 和 $y=f^{-1}(x)$ 的图形关于直线 $y=x$ 对称.
• $f^{-1}[f(x)]=x$, $f[f^{-1}(x)]=x$.

例 3 求函数 $y=shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数.

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由 $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 知

$$e^{2x}-2y{e}^x-1=0$$

解得 $e^x=y\pm \sqrt{1+y^2}$.

由于 $e^x>0$，则

$$e^x=y+\sqrt{1+y^2}$$$$x=ln(y+\sqrt{1+y^2})$$

则函数 $y=shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ 的反函数为 $y=ln(x+\sqrt{1+x^2})$.

初等函数定义

定义 将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数.

幂函数 $y=x^{\mu }$ ($\mu$ 为实数)

• 幂函数 $y=x^{\mu }$ 的定义域和值域取决于 $\mu$ 的取值，当 $x>0$ 时，$y=x^{\mu }$ 都有定义.
• 常见幂函数：$y=x$, $y=x^2$, $y=x^3$, $y=\sqrt{x}$, $y=\sqrt[3]{x}$, $y=\frac{1}{x}$.

指数函数 $y=a^x(a>0,a\ne 1)$

• 定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域：$(0,+\mathrm{\infty })$.
• 单调性：当 $a>1$ 时，$y=a^x$ 单调增；当 $0<a<1$ 时，$y=a^x$ 单调减.
• 常见指数函数：$y=e^x$，单调增，$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$.

对数函数 $y=lo{g}_{a}x(a>0,a\ne 1)$

• 定义域：$(0,+\mathrm{\infty })$，值域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$.
• 单调性：当 $a>1$ 时，$y=lo{g}_{a}x$ 单调增；当 $0<a<1$ 时，$y=lo{g}_{a}x$ 单调减.
• 常见对数函数：$y=lnx$.单调增，$\underset{x\to 0^{+}}{lim}lnx=-\mathrm{\infty }$, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}lnx=+\mathrm{\infty }$.

三角函数 $y=sinx$, $y=cosx$, $y=tanx$, $y=cotx$, $y=secx$, $y=cscx$

• 正弦函数 $sinx$ 与余弦函数 $cosx$

  定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域：$[-1,1]$.

  奇偶性：$sinx$ 是奇函数，$cosx$ 是偶函数.

  周期性：$sinx$ 和 $cosx$ 都以 $2\pi$ 为周期.

  有界性：$|sinx|\le 1,|cosx|\le 1$.

• 正切函数 $tanx$ 与余切函数 $cotx$

  定义域：$tanx$ 的定义域为 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ 的一切实数；$cotx$ 的定义域为 $x\ne k\pi (k\in Z)$ 的一切实数.

  奇偶性：$tanx$ 和 $cotx$ 都是奇函数.

  周期性：$tanx$ 和 $cotx$ 都以 $\pi$ 为周期.

反三角函数 $y=arcsinx$, $y=arccosx$, $y=arctanx$

• 反正弦函数 $arcsinx$ 与反余弦函数 $arccosx$

  定义域：$[-1,1]$，值域：$arcsinx$ 的值域为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，$arccosx$ 的值域为 $[0,\pi ]$.

  单调性：$arcsinx$ 单调增，$arccosx$ 单调减.

  奇偶性：$arcsinx$ 是奇函数.

  有界性：$|arcsinx|\le \frac{\pi }{2},|arccosx|\le \pi$.

• 反正切函数 $arctanx$

  定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$.

  单调性：$arctanx$ 单调增.

  奇偶性：$arctanx$ 是奇函数.

  有界性：$|arctanx|<\frac{\pi }{2}$.

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函数的常见性质

单调性

定义 设函数 $y=f(x)$ 在某区间上有定义，如果对于区间上的任意两点 $x_1<x_2$ 恒有 $f(x_1)<f(x_2)$ (或 $f(x_1)>f(x_2)$)，则称 $y=f(x)$ 在该区间内单调增加(或单调减少).

注意

函数的单调性主要是利用单调性的定义和一阶导数的正负进行判定.

奇偶性

定义 设函数 $y=f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称(即若 $x\in D$，则有 $-x\in D$)，对于任意 $x\in D$ 如果恒有

$$f(-x)=f(x)$$

则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的偶函数；如果恒有

$$f(-x)=-f(x)$$

则称 $f(x)$ 为 $D$ 上的奇函数.

注意

• $sinx$, $tanx$, $arcsinx$, $arctanx$, $ln\frac{1-x}{1+x}$, $ln(x+\sqrt{1+x^2})$, $\frac{e^x-1}{e^x+1}$, $f(x)-f(-x)$ 都是奇函数；$x^2$, $|x|$, $cosx$, $f(x)+f(-x)$ 都是偶函数.

• 奇函数 $y=f(x)$ 的图形关于原点对称，且若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则 $f(0)=0$；偶函数的图形关于 $y$ 轴对称.

• 两个奇(偶)函数之和仍为奇(偶)函数，两个奇(偶)函数之积必为偶函数，奇函数与偶函数之积必为奇函数.

例 4 证明 $f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数.

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显然 $f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 的定义域关于原点对称，由于

$$f(-x)=ln(-x+\sqrt{1+x^2})=ln\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}=-ln(x+\sqrt{1+x^2})=-f(x)$$

则 $f(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})$ 是奇函数.

周期性

定义 若存在实数 $T>0$，对于任意 $x$，恒有 $f(x+T)=f(x)$，则称 $y=f(x)$ 为以 $T$ 为周期的周期函数，使得上述关系式成立的最小正数 $T$ 称为 $f(x)$ 的最小正周期，简称为函数 $f(x)$ 的周期.

注意

• $sinx$ 和 $cosx$ 以 $2\pi$ 为周期；$sin(2x)$, $|sinx|$, $tanx$, $cotx$ 以 $\pi$ 为周期.
• 若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则 $f(ax+b)$ 以 $\frac{T}{|a|}$ 为周期.

有界性

定义 设 $y=f(x)$ 在集合 $X$ 上有定义，若存在 $M>0$，使得对任意的 $x\in X$，恒有

$$|f(x)|\le M$$

则称 $f(x)$ 在 $X$ 上为有界函数，否则称 $f(x)$ 在 $X$ 上为无界函数，即：如果对任意的 $M>0$，至少存在一个 $x_0\in X$ 使得 $|f(x_0)|>M$，则 $f(x)$ 为 $X$ 上的无界函数.

注意

• 如果没有指明的范围，而说“$f(x)$ 为有界函数”，是指 $f(x)$ 在其定义域上为有界函数.
• 常见有界函数：$|sinx|\le 1$, $|cosx|\le 1$, $|arcsinx|\le \frac{\pi }{2}$, $|arctanx|<\frac{\pi }{2}$, $|arccosx|\le \pi$.

例 5 证明函数 $f(x)=xsinx$ 是无界函数.

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由于

$$f(2n\pi +\frac{\pi }{2})=2n\pi +\frac{\pi }{2}$$

所以，对于任意的 $M>0$，只要正整数 $n$ 充分大，总有

$$|f(2n\pi +\frac{\pi }{2})|=2n\pi +\frac{\pi }{2}>M$$

故函数 $f(x)=xsinx$ 是无界函数.